34 Promedio Móvil Exponencial

Media móvil exponencial muestreada en tiempos variables

Tengo un valor continuo para el que me gustaría calcular un promedio móvil exponencial. Normalmente, sólo usaría la fórmula estándar para esto:

Donde S $ _ {n} $ es el nuevo promedio, & lt; Es el alfa, Y es la muestra, y S n-1 es el promedio anterior.

Desafortunadamente, debido a varios problemas no tengo un tiempo de muestra consistente. Puedo saber que puedo probar como máximo, digamos, una vez por milisegundo, pero debido a factores fuera de mi control, es posible que no pueda tomar una muestra durante varios milisegundos a la vez. Un caso más probable, sin embargo, es que la muestra simple un poco temprano o tarde: en lugar de muestreo a 0, 1 y 2 ms. Muestra a 0, 0,9 y 2,1 ms. Yo anticipo que, independientemente de los retrasos, mi frecuencia de muestreo estará muy, muy por encima del límite de Nyquist, y por lo tanto no necesito preocuparme por aliasing.

Creo que puedo lidiar con esto de una manera más o menos razonable variando el alfa apropiadamente, basado en el tiempo transcurrido desde la última muestra.

Parte de mi razonamiento de que esto funcionará es que la EMA "interpola linealmente" entre el punto de datos anterior y el actual. Si consideramos el cálculo de una EMA de la siguiente lista de muestras a intervalos t: [0,1,2,3,4]. Deberíamos obtener el mismo resultado si usamos el intervalo 2t, donde los inputs se convierten en [0,2,4], ¿no? Si la EMA había supuesto que, en t 2 el valor había sido 2 desde t 0. Que sería el mismo que el cálculo del intervalo t calculado en [0,2,2,4,4], que no está haciendo. ¿O eso tiene sentido en absoluto?

¿Puede alguien decirme cómo variar el alfa apropiadamente? "Por favor, muestre su trabajo." Es decir. Muéstrame las matemáticas que demuestran que tu método realmente está haciendo lo correcto.

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Promedios móviles exponenciales para series de tiempo irregulares

En el análisis de series temporales a menudo existe la necesidad de funciones de suavizado que reaccionan rápidamente a los cambios en la señal. En la aplicación típica, puede estar procesando una señal de entrada en tiempo real, y desea calcular cosas como el valor promedio reciente, o obtener una pendiente instantánea para él. Pero las señales del mundo real suelen ser ruidosas. Algunas muestras ruidosas harán que el valor actual de la señal, o su pendiente, varíe ampliamente.

Promedios móviles

La función de suavizado más simple es una media móvil con ventana. A medida que vienen las muestras, toma un promedio de los valores de N más recientes. Esto suavizará los picos, pero introduce un retraso & # 8211; O latencia. Su promedio siempre será retrasado por el ancho de su promedio móvil.

El ejemplo anterior es relativamente costoso de calcular. Para cada muestra tiene que iterar sobre el tamaño entero de la ventana. Pero hay maneras más baratas & # 8211; Mantener la suma de todas las muestras en la ventana en un búfer, y ajustar la suma como nuevas muestras vienen en:

Otro tipo de media móvil es el promedio móvil ponderado & # 8222; Que pesa para cada posición en la ventana de muestra. Antes de promediar multiplicar cada muestra por el peso de esa posición de la ventana. Técnicamente esto se llama una convolución & # 8221 ;.

Una función de ponderación típica aplica una curva de campana a la ventana de muestra. Esto da una señal que está más afinada al centro de la ventana, y todavía algo tolerante de muestras ruidosas. En el análisis financiero, usas a menudo una función de ponderación que valora más recientemente muestras recientes, para dar una media móvil que sigue más de cerca las muestras recientes. Las muestras más viejas se dan progresivamente menos peso. Esto mitiga algo los efectos de la latencia, mientras que todavía que da razonablemente buen suavizado:

Con un promedio ponderado, siempre tiene que iterar sobre el tamaño completo de la ventana para cada muestra (a menos que pueda restringir los pesos permitidos a determinadas funciones).

La media móvil exponencial

Otro tipo de promedio es el promedio móvil exponencial, o EMA. Esto se utiliza a menudo cuando la latencia es crítica, como en el análisis financiero en tiempo real. En este promedio, las ponderaciones disminuyen exponencialmente. Cada muestra es valorada un poco más pequeña que la siguiente muestra más reciente. Con esta limitación se puede calcular el promedio móvil muy eficientemente.

La fórmula es:

\ Vskip1.000000 \ baselineskip \ vskip1.000000 \ baselineskip \ vskip1.000000 \ baselineskip \ vskip1.000000 \ baselineskip \ vskip1.000000 \ baselineskip \ vskip1.000000 \ baselineskip \ vskip1.000000 \

Donde alpha es una constante que describe cómo los pesos de las ventanas disminuyen con el tiempo. Por ejemplo, si cada muestra se ponderara al 80% del valor de la muestra anterior, se establecería alfa = 0,2. El alfa más pequeño se convierte en el más largo de su media móvil es. (Por ejemplo, se vuelve más suave, pero menos reactiva a nuevas muestras).

Los pesos para un EMA con alfa = 0,20

Como se puede ver, para cada nueva muestra sólo es necesario que la media con el valor de la media anterior. Así que el cálculo es muy, muy rápido.

En teoría, todas las muestras anteriores contribuyen al promedio actual, pero su contribución se vuelve exponencialmente menor en el tiempo.

Esta es una técnica muy potente, y probablemente la mejor si quieres obtener un promedio móvil que responda rápidamente a nuevas muestras, tiene buenas propiedades de suavizado y es rápido de calcular.

El código es trivial:

EMA para series de tiempo irregulares

El estándar EMA está muy bien cuando la señal es muestreada a intervalos de tiempo regulares. Pero, ¿qué pasa si sus muestras vienen a intervalos irregulares?

Imagine una señal continua que se muestra a intervalos irregulares. Esta es la situación habitual en el análisis financiero. En teoría hay una función continua para el valor de cualquier instrumento financiero, pero sólo puede muestrear esta señal cada vez que alguien realmente ejecuta un comercio. Así que su flujo de datos consiste en un valor, más el tiempo en el que se observó.

Una forma de tratar esto es convertir la señal irregular en una señal regular, interpolando entre observaciones y remuestreo. Pero esto pierde datos, y re-introduce la latencia.

Es posible calcular un EMA para una serie de tiempo irregular directamente:

En esta función, pasa la muestra actual de su señal, y la muestra anterior, y la cantidad de tiempo transcurrido entre los dos, y el valor anterior devuelto por esta función.

Entonces, ¿cómo funciona esto? Para demostrar que I ha generado una onda senoidal, entonces la muestra en intervalos irregulares, e introdujo alrededor de 20% de ruido. Esa es la señal que variará aleatoriamente + - 20% del original & # 8220; Seno.

¿Qué tan bien recupera la señal la media móvil exponencial irregular?

La línea roja es la onda sinusoidal original. Muestreados a intervalos irregulares. La línea azul es la señal con el ruido añadido. La línea azul es la única señal que la EMA ve. La línea verde es la EMA suavizada. Usted puede ver que recupera la señal bastante bien. Un poco vacilante, pero ¿qué se puede esperar de una señal de fuente tan ruidosa?

Se desplaza alrededor del 15% a la derecha, porque la EMA introduce cierto tiempo de latencia. Cuanto más suave lo desee, más latencia verá. Pero a partir de esto se puede por ejemplo calcular una pendiente instantánea para una señal irregular ruidosa.

¿Qué puedes hacer con eso? Hmm & # 8230 ;.

Pronóstico: Promedio ponderado, Media móvil, Exponencial

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Su Director de Cadena de Suministro necesita ayuda para desarrollar pronósticos. Elija una de las tres opciones siguientes. - Debe mostrar trabajo.

Desarrollar pronósticos para los períodos de 6 a 24 usando MA con 3 períodos, 4 períodos y 5 períodos, o.

Desarrollar pronósticos para los períodos 3 a 24 utilizando un factor de suavización de 0,2 y 0,3, o.

Desarrollar pronósticos para los periodos 5 a 24 utilizando el promedio móvil ponderado con pesos de 0,4, 0,3, 0,2 y 0,1.

Calcular el MAD y el MSE para todas sus previsiones. Iniciar los cálculos MAD y MSE para las medias móviles en el período 6. Iniciar los cálculos MAD y MSE para el suavizado exponencial en el período 5. Iniciar los cálculos MAD y MSE para los promedios ponderados en el período 5.